Como reconhecer um número complexo

O físico, matemático e médico italiano chamado de Girolano Cardano, em 1545, publicou uma obra intitulada Ars Magma, onde pela primeira vez foram apresentadas resoluções de equações de 3º grau (as cúbicas) e de 4º grau (as quárticas). A solução das quárticas foi inicialmente descoberta pelo antigo auxiliar de Cardano, o Ludovico Ferrari, e a sugestão para a solução das cúbicas foi a ele fornecida pelo matemático Niccolo Tartaglia. Em 1572, o matemático italiano Raffaelle Bombelli, publicou uma obra chamada de Algebra, onde começou a operar com o símbolo $\sqrt{-1}$ da mesma forma como operava com números reais. A partir desse momento, os matemáticos começaram a usar em seus trabalhos raízes quadradas de números negativos. No século XVIII, o matemático suíco Leonhard Euler passou a representar $\sqrt{-1}$ por $i$. Nesse mesmo século Abraham de Moivre introduziu métodos mais modernos na investigação das propriedades dos números complexos. No início do século XIX o físico Carl Friedrich Gauss criou, juntamente com o matemático suíco Jean Robert Argand e por meio de trabalhos independentes, a representação geométrica dos números complexos no plano.

INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS

O conjunto dos números complexos é representado pela letra $\complement$. Os números complexos são muito utilizados na própria Matemática, Engenharias, Eletromagnetismo, Física quântica e Teoria do Caos. Neste estudo teremos noções bem básicas sobre os números complexos. A finalidade desta aula é apenas para que o aluno reconheça um número complexo e simplifique algumas unidades imaginárias. Lembrando que na quântica vamos precisar muito trabalhar com números complexos. As equações deste estudo são produzidas em Latex e podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox.

EXEMPLOS DE NÚMEROS COMPLEXOS

a) $z={\color{Blue}4}+{\color{Red}6}i;$

b) $z={\color{Blue}1}-{\color{Red}5}i;$

c) $z={\color{Blue} -3}+{\color{Red} 9}i;$

d) $z={\color{Blue}2}+{\color{Red}3}i;$

e) $z=\frac{{\color{Blue}3}}{{\color{Blue}5}}+\frac{{\color{Red}1}i}{{\color{Red}5}}.$

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE OS NÚMEROS COMPLEXOS

Se somarmos um número complexo, por exemplo $9i$, com um número real, por exemplo $6$, a representação que teremos será a de um número complexo ($z$), ou seja: $$z=9i+6.$$ Nos exemplos abaixo, perceba a parte real de $z$ (Re(z)) e a parte imaginária de $z$ (Im(z)): $$z={\color{Blue}1}-{\color{Red}5}i;$$ $$z={\color{Blue}2}+{\color{Red}3}i;$$ $$z={\color{Blue}5}-{\color{Red}1}i;$$ $$z={\color{Blue}12}-{\color{Red}9}i.$$ Note que a parte imaginária de z conta com a presença do i (unidade imaginária). Escrevemos os exemplos acima para visualizarmos que os números complexos podem ser escritos na sua forma algébrica $$z={\color{Blue}a}+{\color{Red}b}i$$
(onde z é um número complexo, a e b  são números reais e i é a unidade imaginária)

ou
$$z={\color{Blue}x}+{\color{Red}y}i,$$
onde $z$ é um número complexo, x e y  são números reais e i é a unidade imaginária. Já começamos a visualizar que um número complexo é formado por uma parte real e uma parte imaginária com coeficiente ($y$) real.

O NÚMERO COMPLEXO PURO

O número complexo z passará ser um número real se e somente se sua parte imaginária for igual a zero. Veja exemplo:
$$z={\color{Blue}4}+{\color{Red}0i}$$ $$={\color{Blue}4}+0$$ $$={\color{Blue}4}.$$ O número complexo z passará ser um número complexo puro se e somente se sua parte real for igual a zero e sua parte imaginária for diferente de zero. Veja exemplo:
$$z={\color{Blue}0}+{\color{Red}6i}$$ $$ = {\color{Red}6i}.$$ Note que um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma $z=x+yi$, em que x e y são números e $i$ denota a unidade imaginária. Já um número imaginário é um número complexo cuja parte real é igual a zero e a parte imaginária é diferente de zero, ou seja, um número da forma $yi.$

A RELAÇÃO FUNDAMENTAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real e, finalmente, todo real é um número complexo em que $y = 0$ na forma $x+yi$. os números complexos em que a parte real é nula, como $4i$ e $-i$, são chamados, como já visto, de imaginários puros. A unidade imaginária é definida como o número que tem a propriedade de ser $$i^{2}=-1,$$ ou seja, $$i=\sqrt{-1}.$$ Com o uso da unidade imaginária no conjunto dos números complexos as equações de 2º grau, com o delta menor que zero, possuem solução não-vazia. Vamos lembrar que a raiz quadrada de quatro é mais ou menos 2, pois 2 ao quadrado equivale a quatro e, também, dois elevado a menos dois equivale a quatro. No conjunto dos complexos a raiz quadrada de -4 equivale a -2i ou a 2i. Vamos elevar essas raizes ao quadrado e perceber que o resultado equivale a -4, veja:
$$\sqrt{-4}=\pm 2i,$$
pois,
$$2i.2i=2.2.i.i=4.i^{2}=4.(-1)=-4$$
e
$$(-2)i.(-2)i=(-2).(-2).i.i=4.i^{2}=4.(-1)=-4.$$

No conjunto dos complexos, qual é a raiz quadrada de -1?

Usando o mesmo raciocínio:
$$\sqrt{-1}=\pm i,$$
pois,
$$i.i=-1$$ e $$(-i).(-i)=(-1i).(-1i)=(-1).(-1).(i).(i)=1.(-1)=-1.$$

DICAS IMPORTANTES SOBRE POTÊNCIAS DE UNIDADES IMAGINÁRIAS

A propriedade mais importante da unidade imaginária i é que $i^{2}$. Por exemplo, quanto vale $i^{3}$?

A resposta é: $i^{3}=i^{2}.i=(-1).i=-i$

E quanto vale $i^{1}$? Todo número elevado a 1 equivale ao próprio número, então $i^1=i.$

Quando essa propriedade é aplicada a $i^{4}$, temos: $i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1.$ Sendo assim, podemos subtrair o expoente por múltiplos de 4 e obter o mesmo resultado. Verificaremos isso a seguir.

SIMPLIFICAÇÃO DE UNIDADES IMAGINÁRIAS

a) Simplifique $i^{17}$.

O resto da divisão de 17 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 1. Eleve i a esse resto, assim: $i^1=i.$ Portanto, $i^{17}=i$.

b) Simplifique $i^{21}$.

O resto da divisão de 21 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 1. Eleve i a esse resto, assim: $i^1=i.$ Portanto, $i^{21}=i$.

c) Simplifique $i^{36}$.

O resto da divisão de 36 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 0. Eleve i a esse resto, assim: $i^0=1.$ Portanto, $i^{36}=1$.

d) Simplifique $i^{38}$.

O resto da divisão de 38 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 2. Eleve i a esse resto, assim: $i^2=-1.$ Portanto, $i^{38}=-1$.

e) Simplifique $i^{39}$.

O resto da divisão de 39 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 3. Eleve i a esse resto, assim: $i^3=-i.$ Portanto, $i^{39}=-i$.

DESAFIO PARA VOCÊ

Resolva as 5 questões sobre simplificação de unidades imaginárias (clique na figura abaixo para entrar no desafio) e você estará mais apto para estudar o nosso próximo tópico. Por favor, tente acertar 125 pontos. Boa sorte!